进制相关

1. Python与二进制直接相关的内置函数

1.1 bin() 函数

# bin() 将一个整数转换为二进制字符串，前缀是 '0b'
print(bin(10))  # 输出: 0b1010

1.2 int() 函数

# int() 这是一个多功能函数，当给它传递第二个参数 2 时，可以将二进制字符串转为整数
print(int('1010', 2))  # 输出: 10

1.3 oct() 和 hex() 函数

# oct() 和 hex(): 这两个函数分别将整数转为八进制和十六进制字符串，前缀分别是 '0o' 和 '0x'
print(oct(10))  # 输出: 0o12
print(hex(10))  # 输出: 0xa

1.4 format() 函数

# format(): 这是一个非常强大的格式化函数，可以用它来格式化输出不同进制的数字，且不带前缀
print(format(10, 'b'))  # 输出: 1010 (二进制)
print(format(10, 'o'))  # 输出: 12 (八进制)
print(format(10, 'x'))  # 输出: a (十六进制，小写)
print(format(10, 'X'))  # 输出: A (十六进制，大写)

2. 二进制移位操作

2.1 左移 (<<)

• 功能: 把二进制数的所有位向左移动，右边空出的位用 0 填充
• 数学意义: 相当于乘以 2 的 n 次方（n 是移动的位数）

# 例如：10 << 1，十进制 10 是1010，左移 1 位后是10100，即十进制 20
print(10 << 1)  # 输出: 20

2.2 右移 (>>)

• 功能: 把二进制数的所有位向右移动，左边空出的位用符号位填充（正数补 0，负数补 1）
• 数学意义: 相当于除以 2 的 n 次方，向下取整

# 例如：10 >> 1，十进制 10 是1010，右移 1 位后是101，即十进制 5
print(10 >> 1)  # 输出: 5

注意: Python 的整数理论上可以无限大，所以不会出现其他语言中的 "溢出" 问题。

3. 二进制的乘法实现

3.1 原理

我们用 10 * 12 这个例子来看看如何用移位和加法来实现乘法。

核心思想:

• 把乘法转换成加法和移位，利用的是 a * b 可以拆成多个 a 的倍数相加
• 关键：任何整数都可以用 2 的幂次方的和来表示
• 12 可以写成 8 + 4，也就是 2^3 + 2^2
• 所以 10 * 12 就等于 10 * (8 + 4)，即 (10 * 8) + (10 * 4)

3.2 二进制世界中的对应关系

在二进制世界里：

• 10 * 4 等价于 10 左移 2 位
• 10 * 8 等价于 10 左移 3 位

3.3 计算过程

步骤 1: 分解乘数

• 12 的二进制是 1100
• 从右数第 3 位和第 4 位是 1
• 这对应了 2^2 和 2^3，即 4 和 8

步骤 2: 移位操作

# 10 左移 2 位：10 << 2 = 101000 (十进制 40)
print(10<<2)  # 40
# 10 左移 3 位：10 << 3 = 1010000 (十进制 80)
print(10<<3)  # 80

步骤 3: 相加结果

# 40 + 80 = 120
print(40 + 80)  # 输出: 120

3.4 总结

这样，我们就用移位和加法完成了 10 * 12 = 120 的计算。这种方法在底层硬件中非常高效，因为移位和加法是 CPU 最擅长的操作。

4. 二进制小数转换成十进制小数

4.1 转换原理

小数部分每一位乘以 2 的负幂次方，然后相加。

4.2 实例演示：1101.011

我们用例子 1101.011 来演示完整的转换过程。

步骤 1: 拆分数字

把数字分成整数部分和小数部分：

• 整数部分: 1101
• 小数部分: 011

步骤 2: 计算整数部分

从右往左，从 0 开始计数：

位置	位值	计算	结果
3	1	1 × 2³	8
2	1	1 × 2²	4
1	0	0 × 2¹	0
0	1	1 × 2⁰	1

整数部分总和: 8 + 4 + 0 + 1 = 13

步骤 3: 计算小数部分

从小数点后第一位开始，从左往右，从 -1 开始计数：

位置	位值	计算	结果
-1	0	0 × 2⁻¹	0
-2	1	1 × 2⁻²	0.25
-3	1	1 × 2⁻³	0.125

小数部分总和: 0 + 0.25 + 0.125 = 0.375

步骤 4: 合并结果

# 最终结果
整数部分 + 小数部分 = 13 + 0.375 = 13.375

4.3 总结

所以，二进制的 1101.011 就等于十进制的 13.375。

记忆要点:

• 整数部分：从右往左，位置从 0 开始
• 小数部分：从左往右，位置从 -1 开始
• 每一位的值 = 位值 × 2^位置